笔记3-《程序员的数学3：线性代数》行列式与扩大率

2026.10.30 09:30 上午

行列式与扩大率
用 Ruby 验证
行列式为零意味着什么

行列式与扩大率

1.3 行列式与扩大率
- 行列式的几何意义：面积扩大率
  - 矩阵 $A = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix}$ 对应的变换让面积变成原来的 $0.5 \times 0.5 = 0.25$ 倍
  - 矩阵 $B = \begin{pmatrix} 0.3 & 0 \\ 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$ 对应的变换让面积变成原来的 $0.3 \times 0.5 = 0.39$ 倍
  - 面积扩大率与原图形的位置和形状都无关
  - 这样的面积扩大率就称为该矩阵的行列式（determinant），记为 $\det A = 0.75$ 或 $|A| = 0.75$
  - 对于 3 阶方阵，行列式表示体积扩大率
  - 图形被压扁的情况下，体积扩大率为 0
- 体积扩大率这个说法有什么用
  - 多重积分的换元法中行列式起关键作用，关键词是雅可比矩阵（Jacobian）
  - 「密度」问题：概率密度函数随随机变量变化而变化时也依靠行列式
    - 空间的延伸会带来密度的下降
  - 行列式可以用来检测是否产生了退化
    - 压扁对应行列式为 0
    - 求出行列式就能判断对应的线性变换是否压扁
    - 而压扁意味着不存在逆矩阵 —— 第 2 章会重点谈这件事
- 「压缩扁平化」的严格说法
  - 指把不同的点映射到同一点，即存在 $\mathbf{a}' \neq \mathbf{a}$ 使得 $A\mathbf{a}' = A\mathbf{a}$
- 复矩阵与方阵
  - 复矩阵的行列式一般是复数，「体积扩大率」的直观解释变得勉强
    - 复平面上可以绕过行列式为 0 的点到达其镜像点（行列式为负）
  - 非方阵没有行列式的定义
行列式的性质
- 简单性质
  - $\det I = 1$ ：保持不变，变化率当然是 1
  - $\det(AB) = (\det A)(\det B)$ ：先做映射 $B$ 造成 $\det B$ 的变化，再做映射 $A$ 造成 $\det A$ 的变化
- 行列式的展开式
  - 2 阶： $ad - bc$
  - 3 阶：按第一行展开，三项两正一负交替
  - 4 阶以上：按第一行（或任意一行）展开，每一项是一个 $(n-1)$ 阶行列式
计算方法
- 用「某行的倍数加到另一行」的初等变换，行列式不变
  - 把某一行乘以 $-4$ 加到第 2 列上，行列式不变
  - 用这个方法可以把矩阵变成上三角或对角矩阵
- 交换两行，行列式变号
- 某一行乘以 $k$ ，行列式也乘以 $k$
- 对角矩阵的行列式就是对角线元素的乘积
- 若对角线上有 0 元素，展开时那一列全变 0，可直接判断行列式为 0

用 Ruby 验证

行列式的定义式和这些性质都可以直接算：

# 2 阶行列式：ad - bc
def det2(m)
  m[0][0] * m[1][1] - m[0][1] * m[1][0]
end

# 3 阶行列式：按第一行展开
def det3(m)
  m[0][0] * (m[1][1] * m[2][2] - m[1][2] * m[2][1]) \
    - m[0][1] * (m[1][0] * m[2][2] - m[1][2] * m[2][0]) \
    + m[0][2] * (m[1][0] * m[2][1] - m[1][1] * m[2][0])
end

# 验证 det(AB) = det(A) * det(B)
def mul(x, y)
  n = x.size
  n.times.map { |i| n.times.map { |j| n.times.sum { |k| x[i][k] * y[k][j] } } }
end

a = [[1, 2], [3, 4]]
b = [[5, 6], [7, 8]]

puts "det(A)   = #{det2(a)}"                 # det(A)   = -2
puts "det(B)   = #{det2(b)}"                 # det(B)   = -2
puts "det(AB)  = #{det2(mul(a, b))}"         # det(AB)  = 4
puts "det(A)*det(B) = #{det2(a) * det2(b)}"  # det(A)*det(B) = 4

m3 = [[2, 0, 1], [1, 3, 2], [1, 1, 0]]
puts "det3 = #{det3(m3)}"                    # det3 = -6

行列式为零意味着什么

$\det A = 0$ 对应「压扁」，也就是把不同的点映射到同一点
存在 $\mathbf{a}' \neq \mathbf{a}$ 使 $A\mathbf{a}' = A\mathbf{a}$
换个说法：存在非零向量 $\mathbf{v}$ 使 $A\mathbf{v} = \mathbf{0}$
- 这个 $\mathbf{v}$ 组成的集合叫 $\mathrm{Ker} A$ ，叫核
后果是： $A\mathbf{x} = \mathbf{y}$ 要么无解，要么有无穷多解，不可能有唯一解
所以「有没有逆矩阵」这件事，完全由行列式决定：
- $\det A \neq 0$ → 可逆， $A^{-1}$ 存在，解唯一
- $\det A = 0$ → 不可逆（奇异矩阵），解不唯一或不存在

这就是为什么行列式值得单独讲一节：它是判断「这个问题有没有唯一答案」的最快方式。

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