笔记2-《程序员的数学2：概率统计》随机变量与概率分布

2026.10.30 13:30 下午

随机变量与概率分布
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这一节真正重要的是那句话

随机变量与概率分布

1.4 随机变量
- 从舞台到表演
  - 1.3 节已经构建了舞台（Ω 与上帝视角），接下来讨论如何在这一舞台上表现随机量
  - 这种随机量称为随机变量
  - 从 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ $(Ω, F, P)$ 的角度看，随机变量只是 Ω 中的函数
    - 对 Ω 中各元素 $\omega$ ，函数 $f(\omega)$ 返回相应整数，这些整数就是随机变量 $A$
    - $f$ 只是一个函数，返回情况完全确定，与 $g(x) = x + 3$ 之类的函数没有区别
    - 图 1.7：左侧是整数值（离散值）的随机变量，右侧是实数值（连续值）的随机变量
- 两种视角的切换（这一节很重要）
  - 上帝视角：随机变量是完全确定的函数 $f(\omega)$ ，问题变成完全确定的面积问题
  - 人类视角：因为不知道自己身处哪个世界 $\omega$ ，无法得知 $f(\omega)$ 的值，问题变成结果不确定的概率问题
  - 如果能在两种视角之间自由切换，后续的概率讨论就不会有太大问题
  - 习惯上用大写字母表示随机变量，如 $X(\omega)$
- 具体例子
  - Ω 是正方形，由 0 至 1 间的实数二元组组成： $\omega = (u, v)$ ，其中 $0 \le u \le 1$ 、 $0 \le v \le 1$
  - $P$ 是传统意义上的面积，整个 Ω 面积为 1
  - 定义随机变量 $X$ $X$ ： $X(\omega) =$ $X (ω) =$ 中选，若 $2u + v \le 1$ $2 u + v \leq 1$ ；否则落空
    - 这类既非整数又非实数的值也能作为随机变量
  - $X(\omega) =$ 中选对应的面积是 $1/4$ ，所以 $X$ 有 $1/4$ 的概率值为中选
- 区域边界怎么画
  - 「 $Y(u, v) =$ 中选」实际上就是要求 $2u + v \le 1$ 的区域
  - 把边界方程变形： $v = -2u + 1$ ，斜率 $-2$ 、y 轴截距 1
  - 画直线后判断区域在哪一侧 —— 随意取点检验即可
    - $(0, 0)$ ： $2u + v = 0 \le 1$ ，在该区域内
    - $(1, 0)$ ： $2u + v = 2 > 1$ ，不在区域内
  - 区域与 $(0, 0)$ 位于直线同侧
1.5 概率分布
- 概率分布 vs 随机变量
  - 随机变量涉及具体的平行世界；概率分布只考虑面积，不涉及具体发生在哪个世界
  - 只要知道随机变量就能算出概率分布；反过来不成立 —— 仅凭概率分布无法求出随机变量的值
  - 表 1.2 与表 1.3： $X$ 与 $Y$ 是不同的随机变量，但概率分布相同（各 1/4、3/4）
- 老千骰子的概率分布（表 1.1）
  骰子的点数 1 2 3 4 5 6
  掷出该点的概率 0.4 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2
- 概率分布的两条性质
  - 每一项概率都 $\ge 0$ 且 $\le 1$
  - 所有概率的和必定为 1
  - 从面积角度这是理所当然的（前提是 Ω 面积为 1）
- 表述方式
  - $P(X = k) =$ 「 $X(\omega) = k$ 时区域 $\omega$ 的面积」
  - 更一般的： $P(X = k)$ 为 k 的概率，「这类方程式的集合就是相应的概率分布」
  - 表述习惯：「随机变量 $X$ 遵从式 1.4 中的概率分布」，而不是「式 1.4 是 $X$ 的概率分布」
  - 连续值随机变量 $Z$ 也定义了概率分布，但表述略复杂，第 4 章再讨论
1.6 适于实际使用的简记方式
- 随机变量的表示方法
  - 原则上随机变量用大写字母， $X(\omega) = a$ 这样写能清楚区分 $X$ （随机变量）和 $a$ （普通数字）
  - 但情况复杂时字母不够用，用其他名称也无可厚非
  - 换用其他字母表述分布是一种妥当做法：「将 $X$ $X$ 的概率分布记为 $P$ $P$ ， $Y$ $Y$ 的概率分布记为 $Q$ $Q$ 」
    - $P(3)$ 表示 $P(X = 3)$ ， $Q(3)$ 表示 $P(Y = 3)$
    - 优点是不必用下标，书写方便；不足是要引入新字母
- 概率的表示方法
  - $P(X = x)$ 可简记为 $P(x)$ ， $P(Y = y)$ 简记为 $P(y)$
  - 这种写法存在歧义 —— 没有上下文的 $P(3)$ 无法辨别具体含义
  - 本书有时用 $\mathrm{Pr}(\dots)$ 或 $\mathrm{Prob}(\dots)$ 代替 $P$ ，含义相同
  - 建议初学者如果困惑，先改用原本的表示方法
1.7 Ω 是幕后角色
- 不必在意 Ω 究竟是什么
  - 前几节把 Ω 定义为面积是 1 的正方形，但即使改成其他形状，概率论的原理也不变
  - 我们不关心 Ω 及其中区域 A 的形状，只对面积 $P(A)$ 感兴趣
  - 图 1.13：Ω 定义为面积为 1 的圆盘，相关概率不变
  - 图 1.14：Ω 定义为体积为 1 的立方体或球体，把 $P$ 视作相应的体积问题也没有不同
  - 前提条件始终是 $P(\Omega) = 1$
- Ω 的两种习惯处理方式
  - 宽泛 Ω（本书采用）：准备一个通用的巨大舞台 Ω，每个问题设定为其中不同的随机变量
    - 用上帝视角的平行世界来解释，非常合理
  - 小 Ω：针对每个具体问题设定更小的集合
    - 内容较浅的概率论书籍常采用
    - 投一次硬币只需 $\Omega = \{\text{正面}, \text{反面}\}$
    - 蒙提霍尔问题总共只有 $3 \times 3 \times 3 = 27$ $3 \times 3 \times 3 = 27$ 种结果组合（正确的门、挑战者选的、主持人开的），定义一个含 27 个元素的集合即可
      - 有些组合不可能实际出现，把它们的 $P$ 定义为 0 就行
- 不含 Ω（不含上帝视角）的概率论
  - 概率分布只是一列概率一览表，无需引入上帝视角也能解释
  - 但不足在于：随机变量的概念变得无足轻重，只能靠语言描述
  - 问题仅涉及一个随机变量时问题不大；多个随机变量时就变得棘手
    - 「即使概率分布相同，对应的随机变量也可能不同」
    - 常规视角下的语言和直觉难以解决，上帝视角更有效
  - 对这类复杂随机变量组合的分析是现代概率统计学的关键之一
1.8 一些注意事项
- 「想做什么」
  - 仅凭语言难以讨论概率问题，容易陷入各执一词的无休止争论
  - 只用语言表述，讨论可能莫名其妙地转化为哲学问题，不知不觉中做出错误判断
  - 所以本书试图一同介绍纯粹的数学定义，并在后文中结合数学讨论

骰子的点数	1	2	3	4	5	6
掷出该点的概率	0.4	0.1	0.1	0.1	0.1	0.2

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老千骰子的分布可以直接算期望值和方差：

# 老千骰子：各点概率
dist = [0.4, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.2]

puts "概率和 = #{dist.sum}"                # 概率和 = 1.0

# 期望值 = Σ k * p(k)
exp = dist.each_with_index.sum { |p, i| (i + 1) * p }
puts "期望值 = #{exp}"                     # 期望值 = 3.0000000000000004

# 方差 = Σ (k - E)^2 * p(k)
var = dist.each_with_index.sum { |p, i| ((i + 1) - exp)**2 * p }
puts "方差 = #{var.round(6)}"              # 方差 = 4.0
puts "标准差 = #{Math.sqrt(var).round(6)}" # 标准差 = 2.0

老千骰子的期望值是 3（比公平骰子的 3.5 小），方差 4.0 是公平骰子的 1.25 倍 —— 概率全压在 1 和 6 上，波动更大。

再验证随机变量的面积定义： $X(\omega) =$ 中选对应区域 $2u + v \le 1$ ，这是个直角三角形，面积为 $1/2 \times 1 \times 1/2 = 1/4$ 。用蒙特卡洛采样估计：

n = 1000
hits = 0
n.times do |i|
  u = (i + 0.5) / n
  v = (i * 7 % n + 0.5) / n
  hits += 1 if 2 * u + v <= 1
end
puts "蒙特卡罗估计 P(X=中选) = #{hits.to_f / n}"  # 蒙特卡罗估计 P(X=中选) = 0.255
puts "精确值 = 0.25"                              # 精确值 = 0.25

蒙特卡洛估计 0.255 与精确值 0.25 接近。误差来自采样 —— 这正是第 7 章「伪随机数与蒙特卡罗方法」要处理的问题。

这一节真正重要的是那句话

书里反复提醒：「即使概率分布相同，对应的随机变量也可能不同。」

表 1.2 和表 1.3 里 $X$ 和 $Y$ 概率分布完全相同，但它们是不同的随机变量。差别在于「哪个世界里得到哪个值」。

这就是为什么第 1.7.3 节说「不含 Ω 的概率论」在多随机变量场景下会失效：只盯着概率分布那一张表，会丢掉「具体哪个世界」这层信息；而多个随机变量之间的联合结构恰恰住在这一层里。第 2 章要讲的联合概率、边缘概率、条件概率，全都是在这个层面上做文章。

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