笔记1-《程序员的数学3：线性代数》向量与空间

2026.10.29 17:05 下午

向量与空间
最直接的定义：把数值罗列起来就是向量
「空间」的形象
基底

向量与空间

第 0 章动机
- 我们生活在 3 维空间中，为了处理现实世界的问题，需要一种合适的方式描述「空间」
- 作线性代数施展作用的舞台，向量空间是对现实空间进行一定程度抽象化后得到的东西
- 打个比方：把 3 维空间中的物体在 2 维的显示屏上展示出来的时候，我们需要面对很多问题
  - 当我们的目光跟随物体的变换而移动、旋转时，映入眼帘的 2 维画面是怎么变化的？
  - 要解决这类问题，线性代数发挥了基础性的作用
- 学习线性代数可不只是为了了解现实空间的问题
- 几乎处处都会遇到由多个数值组成的一组数据，即使与「空间」看似没什么直接关系，也能进行推理
- 只要将数据诠释为高维空间中的点，就可以利用自己的直观感受，通过「空间」来理解数据的行为
- 直观认知仅限于 3 维以下的空间，但只要稍加推广，对于一般的 $n$ 维空间中的现象，同样可以从直观上理解
- 这已经是数据分析中强有力的工具了
有效利用线性近似的手段
- 线性代数在「空间」中大显身手的地方：主成分分析、最小二乘法
- 本书作为「基础篇」，原则上不考虑带度量的问题，以无量度的问题为中心

最直接的定义：把数值罗列起来就是向量

把数排成一列就是向量
- 比如
  $\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \quad 和 \quad \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \quad 和 \quad \begin{pmatrix} 2.9 \\ -0.3 \\ 1/7 \\ \sqrt{\pi} \\ 42 \end{pmatrix}$
- 需要强调分量个数时，分别称为 2 维向量、3 维向量和 5 维向量
- 提到向量，不特别说明就指上面这样的竖排的「列向量」
- 也存在像 $(2, 3, 5, 8)$ 这样的横排的「行向量」，但本书中不加说明时默认为列向量
- 列向量书写起来比较占空间，所以使用以下写法
  $(2, 3, 5, 8)^T = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}^{T}$
- 其中 $T$ 是 Transpose（转置）的首字母
为什么偏爱列向量
- 对于「将映射 $f$ 作用于 $x$ 」的操作，一般人会写成 $f(x)$
- 对于「将矩阵 $A$ （所表示的线性映射）作用于向量 $x$ 」的操作，用 $Ax$ 表示
- 如果这里的 $x$ 是行向量，结果就变成了 $xA$ —— 先对象后操作的写法，不太符合一般人的思维
- 面向对象程序设计的读者，相比 f(x) 来说，说不准会觉得 x.f 的写法更加自然
一个应用场景
- 一个搭载了 10 个传感器的机器人观测到了 10 组数据，当想要把它们作为一个整体来处理时，向量就派上用场了

「空间」的形象

什么是空间
- 直觉上，空间是「能容纳物体的容器」
- 1 维的空间是一条线，2 维是平面，3 维是立体
- 更高维的空间无法直接想象，但有办法构造出来
构造 $n$ 维空间
- 用 $n$ 个数来指定一个点的位置，这 $n$ 个数就是坐标
- 关键在于「坐标」这个概念：坐标一旦给定，点就唯一确定了
- 在 2 维平面上，每个点由 2 个数指定；在 3 维空间中，每个点由 3 个数指定

基底

为什么要基底
- 有了坐标就能描述点的位置，但「坐标本身」依赖于用什么来度量
- 同一个物理位置，在不同的坐标下是不同的数值
- 基底就是一组「用来造坐标的基准」
基底的定义
- 一组向量，如果它们能「撑起」整个空间，就称为这组向量构成该空间的一个基底
- 构成基底的条件（1.1.4）：
  - 线性无关 —— 不能由其他向量线性组合得到
  - 张成整个空间 —— 空间里的任何向量都能由它们线性组合得到
- 基底不唯一，但只要选定一个，空间里的每个向量就有唯一的表示
维数
- 基底里向量的个数，称为这个空间的维数
- 2 维空间维数为 2，3 维空间维数为 3
- $n$ 维空间的基底含 $n$ 个向量

坐标

有了基底，向量就能唯一分解成基底的线性组合
各个系数就是这个向量在这组基底下的坐标

用 Ruby 验证：向量在标准基底和另一组基底下的坐标

#ruby
# 向量 v = (2, 5)，在标准基底下的坐标就是它自己
v = [2.0, 5.0]

# 换一组基底：b1 = (1, 0), b2 = (1, 1)
# 解 c1*b1 + c2*b2 = v，即 c1 + c2 = 2, c2 = 5
b1 = [1.0, 0.0]
b2 = [1.0, 1.0]
# 由 c2 = v[1]，c1 = v[0] - c2
c2 = v[1]
c1 = v[0] - c2
coords = [c1, c2]

puts "坐标: #{coords}"                        # 坐标: [-3.0, 5.0]
# 还原：c1*b1 + c2*b2 应该等于 v
restored = 2.times.map { |j| coords[0] * b1[j] + coords[1] * b2[j] }
puts "还原: #{restored}"                      # 还原: [2.0, 5.0]
puts "与原向量相等? #{restored == v}"          # 与原向量相等? true

# 标准基底下的坐标
puts "标准基底坐标: #{v}"                     # 标准基底坐标: [2.0, 5.0]

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