笔记5-《程序员的数学》10 进制与 2 进制

目录

1. 第一章 0 的故事–计数法
2. 10 进制计数法
3. 2 进制计数法
4. 基数转换
5. 计算机为什么用 2 进制

第一章 0 的故事–计数法

• 10 进制计数法

• 2 进制计数法

• 基数转换

• 计算机为什么用 2 进制

10 进制计数法

• 数字有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 共 10 种

• 数位从右往左分别表示个位、十位、百位、千位

• 小学一年级的回忆：老师让写「十二」，我听成 12 就写下 10 和 2，本子上写的是 102，老师说该写 12 喔

• 2503 的分解：2 个 1000、5 个 100、0 个 10、3 个 1

  #ruby
  # 2503 = 2 x 10**3 + 5 x 10**2 + 0 x 10**1 + 3 x 10**0
  puts 2 * 10**3 + 5 * 10**2 + 0 * 10**1 + 3 * 10**0  # 2503
  
  # 1100 = 1 x 2**3 + 1 x 2**2 + 0 x 2**1 + 0 x 2**0
  puts 1 * 2**3 + 1 * 2**2 + 0 * 2**1 + 0 * 2**0  # 12

• 10 进制计数法的数位全是 10 的幂，这个 10 称作基数（底）

2 进制计数法

• 数字只有 0、1 共 2 种

• 数位从右往左分别表示 1 位、2 位、4 位、8 位

• 数数时到 2 就进位：0、1、10、11、100、101

• 同样地，1100 是 1 个 8、1 个 4、0 个 2、0 个 1

  10 进制	2 进制	10 进制	2 进制
  0	0	9	1001
  1	1	10	1010
  2	10	32	100000
  3	11	64	1000000
  8	1000	99	1100011

基数转换

• 10 进制转 2 进制：反复除以 2，看余数是 0 还是 1，再把余数逆向排列

  #ruby
  # 12 转 2 进制：反复除以 2，余数从下往上读
  n = 12
  while n > 0
    puts "#{n} / 2 = #{n / 2} 余数 #{n % 2}"
    n /= 2
  end
  # 12 / 2 = 6 余数 0
  # 6 / 2 = 3 余数 0
  # 3 / 2 = 1 余数 1
  # 1 / 2 = 0 余数 1

• 余数从下往上读就是 1100，2503 同理得到 100111000111

  #ruby
  def to_bin(n)
    bits = []
    while n > 0
      bits << n % 2
      n /= 2
    end
    bits.reverse.join
  end
  
  puts to_bin(12)    # 1100
  puts to_bin(2503)  # 100111000111
  puts 2503.to_s(2)  # 100111000111

计算机为什么用 2 进制

• 计算机表示数只有两种状态：开关切断（0）和开关连通（1）

• 开关个数可以增加，够多就能表示多大的数

• 做成能表示 10 种状态的开关理论上也行，结构必定更复杂

• 1 位加法表的差别最直观

  +	0	1
  0	0	1
  1	1	10

• 10 进制的 1 位加法表是 10 x 10 = 100 格，2 进制只有 2 x 2 = 4 格

• 缺点是位数变多：2503 在 10 进制是 4 位，在 2 进制是 12 位

• 10 进制位数少、数字种类多，人类用着顺手，两只手正好 10 个指头

• 2 进制数字种类少、规则简单，计算机不会算错，也不用靠直觉比大小

• 所以计算机执行人类的任务时：10 进制 -> 2 进制 -> 计算 -> 10 进制

  #ruby
  # 21 + 19：转 2 进制 -> 用 2 进制算 -> 转回 10 进制
  a = 21.to_s(2)
  b = 19.to_s(2)
  sum = (a.to_i(2) + b.to_i(2)).to_s(2)
  puts "#{a} + #{b} = #{sum} -> #{sum.to_i(2)}"
  # 10101 + 10011 = 101000 -> 40