笔记8-《程序员的数学》乘车费用问题与逻辑

目录

1. 第二章 逻辑–真与假的二元世界
2. 为何逻辑如此重要
3. 乘车费用问题–兼顾完整性和排他性
4. 命题及其真假
5. 使用 if 语句分解问题

第二章 逻辑–真与假的二元世界

• 为何逻辑如此重要

  • 逻辑是消除歧义的工具
  • 致对逻辑持否定意见的读者

• 乘车费用问题–兼顾完整性和排他性

  • 车费规则、命题及其真假
  • 有没有遗漏、有没有重复、注意边界值

• 使用 if 语句分解问题

  • 逻辑的基本是两个分支

为何逻辑如此重要

• 逻辑是消除歧义的工具

• 自然语言极易产生歧义，连「或者」都不止一个正确意义

  • 课前对话：按下紧急按钮或者水位高于危险水位时报警，「或者」是排他的吗
  • 「他现在在大阪或者东京」，「或者」是排他的吗

• 规格说明书一般用自然语言描述，程序员必须走出歧义的迷宫

• 致对逻辑持否定意见的读者

  • 计算机不按感情运行，逻辑上有错的程序不会正确运行
  • 「逻辑冰冷且机械死板」正因如此才有用
  • 程序员站在人类和计算机的分界线上

乘车费用问题–兼顾完整性和排他性

• 费用规则 A：6 岁以上的乘客 100 元，不到 6 岁的乘客 0 元

• 13 岁的 Alice 车费 100 元，4 岁的 Bob 车费 0 元

• 6 岁的 Charlie 车费 100 元，因为「6 岁以上」包含 6 岁

• 有没有「遗漏」：不管针对哪个乘客，都能判定命题的真假

  • 规则 B「大于 6 岁 100 元 / 不到 6 岁 0 元」遗漏了正好 6 岁

• 有没有「重复」：要确认某位乘客是不是有两种费用标准

  • 规则 C「6 岁以上 100 元 / 6 岁以下 0 元」，6 岁时两种费用都适用
  • 规则 D 多写一条「正好 6 岁 100 元」，重复但不矛盾

• 画一根数轴辅助思考，命题为真的年龄范围用 ⊙ 标记，为假的用 ○ 标记

• 注意边界值，0 岁和 6 岁是边界所在，错误往往出在边界值上

  规则	0~5 岁	6 岁	7 岁以上	问题
  A 6 岁以上 / 不到 6 岁	0 元	100 元	100 元	无
  B 大于 6 岁 / 不到 6 岁	0 元	无	100 元	遗漏 6 岁
  C 6 岁以上 / 6 岁以下	0 元	100 元 / 0 元	100 元	重复 6 岁

• 兼顾完整性和排他性

  • 没有遗漏即完整性，没有重复即排他性
  • 大问题分解成小问题时，常用的方法就是检查完整性和排他性

命题及其真假

• 能够判断对错的陈述句叫做命题，命题正确称为真，不正确称为假

  命题	真假
  Alice(13 岁) 的年龄在 6 岁以上	真命题
  Bob(4 岁) 的年龄在 6 岁以上	假命题
  Charlie(6 岁) 的年龄在 6 岁以上	真命题

• 命题要么为 true 要么为 false，同时满足真和假的不能称为命题

#ruby
# 规则写成条件, 枚举年龄看有没有遗漏和重复
rules = {
  "A" => [[->(a){ a >= 6 }, 100], [->(a){ a < 6 }, 0]],
  "B" => [[->(a){ a > 6 }, 100],  [->(a){ a < 6 }, 0]],
  "C" => [[->(a){ a >= 6 }, 100], [->(a){ a <= 6 }, 0]],
  "D" => [[->(a){ a >= 6 }, 100], [->(a){ a == 6 }, 100], [->(a){ a < 6 }, 0]]
}
(0..12).each do |age|
  rules.each do |name, rs|
    hit = rs.select { |c, _| c.call(age) }
    next if hit.size == 1
    fee = hit.map { |_, f| f }.uniq.sort
    puts "规则#{name} 年龄#{age}: #{hit.empty? ? '遗漏' : "重复 费用#{fee}"}"
  end
end
# 规则B 年龄6: 遗漏
# 规则C 年龄6: 重复 费用[0, 100]
# 规则D 年龄6: 重复 费用[100]

使用 if 语句分解问题

• 把问题分解成命题为真和为假两部分

  • 显示年龄在 6 岁以上的乘客的费用：显示 100 元
  • 显示年龄不到 6 岁的乘客的费用：显示 0 元

• 这种分解就是程序里的 if 语句

#ruby
# 查车费: 先判断 "乘客的年龄在 6 岁以上" 这个命题
def fare(age)
  if age >= 6
    100
  else
    0
  end
end
[4, 6, 13].each do |age|
  puts "年龄#{age}: 命题(>=6)=#{age >= 6} 车费#{fare(age)}元"
end
# 年龄4: 命题(>=6)=false 车费0元
# 年龄6: 命题(>=6)=true 车费100元
# 年龄13: 命题(>=6)=true 车费100元

• 逻辑的基本是两个分支

  • 熟练的程序员不用特意想完整性和排他性也能写出 if 语句
  • 可要写几十条、几百条 if 语句，组合中稍出点错就产生 bug
  • 逻辑从根本上说是对完整性和排他性的组合表达