笔记2-《程序员的数学3：线性代数》矩阵与映射

2026.10.30 09:00 上午

矩阵与映射
矩阵乘法 = 映射的复合
单位矩阵
坐标变换
小结这一节的两个关键词

矩阵与映射

1.2 矩阵和映射
- 暂时的定义
  - 把数排列成长方形就是矩阵
  - 这只是暂时的定义，本书的目标之一就是要打破这种印象
  - 矩阵的加法：相同规模（行列数都相等）的矩阵对应位置相加
  - 数量乘法：矩阵的每个元素同乘一个数
  - 运算规则和向量完全一样： $-A = (-1)A$ 、 $A - B = A + (-B)$ 、 $2A + 3B = (2A) + (3B)$
- 矩阵与向量的乘积
  - 小明买了 1 斤肉、2 斤大豆和 3 斤米，问题是总共花多少钱、一共多少卡路里
  - 设两个值分别为「钱」和「热」，把两个等式综合起来写成一个式子
  - 矩阵乘向量的规则：结果的第 $i$ 个分量 = 矩阵第 $i$ 行与向量的点积
  - 形象地说， $A\mathbf{x}$ 里每一行是一个「配方」， $\mathbf{x}$ 的每个分量是「原料用量」
- 为什么列向量要「放倒」
  - 矩阵乘向量时，把列向量横过来放（转置）再做点积，这是约定而非必然
  - 改用行向量看似直观，但乘积结果（右边）却还是列向量，反而更乱
  - $n \times 1$ 矩阵和 $n$ 维列向量在运算上完全等价，所以「放倒」只是个书写约定
「平直」的关系与线性映射
- 满足 $f(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = f(\mathbf{a}) + f(\mathbf{b})$ 以及 $f(c\mathbf{a}) = cf(\mathbf{a})$ 的映射称为线性映射
- 「乘以矩阵 $A$ 的运算」就是线性映射
- 反过来也成立：任意线性映射都能改写成「乘以某矩阵」的形式
  - 把标准基底 $\mathbf{e}_i = (1, 0, \dots, 0)^T$ 作为输入，记 $\mathbf{a}_i = f(\mathbf{e}_i)$
  - 对输入 $\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)^T$ ，输出就是 $f(\mathbf{x}) = x_1 \mathbf{a}_1 + \dots + x_n \mathbf{a}_n$
  - 把这些列向量按顺序排列构成 $A = (\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_n)$ ，于是 $f(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$
- 所以「矩阵就是用坐标来表示的线性映射」
重产品与原料问题
- 制造 1 个产品 1 需要原料 1、2、3 各 $a_{11}, a_{21}, a_{31}$ 克
- 制造 1 个产品 2 需要原料 1、2、3 各 $a_{12}, a_{22}, a_{32}$ 克
- 制造 $x_1$ 个产品 1 和 $x_2$ 个产品 2，原料需求量写成一个矩阵式
- 反例：制造 1 个产品需 20 克原料，但制造 1000 个产品只需 18000 克（规模效应）
  - 这就构不成「平直」的关系
  - 非「平直」的关系不能用「乘以某矩阵」来表达
其他常见场景
- 电路分析（LCR 电路的电流、电压）
- 信号处理（线性滤波器、傅立叶变换、小波变换）
- 控制理论（线性系统）
- 统计分析（线性模型）
矩阵就是映射
- $n$ 维向量 $\mathbf{x}$ 乘以 $m \times n$ 矩阵 $A$ ，得到 $m$ 维向量 $\mathbf{y} = A\mathbf{x}$
- 指定了矩阵 $A$ ，就确定了从向量到另一个向量的映射
- 「这才是矩阵最重要的机能」

矩阵乘法 = 映射的复合

先做映射 $B$ ，再做映射 $A$ ，得到的复合映射可以写成 $AB$
逐分量验证： $(AB)\mathbf{x}$ 的第 $i$ 个分量
$= \sum_{k} a_{ik} (B\mathbf{x})_k = \sum_{k} \sum_{j} a_{ik} b_{kj} x_j = \sum_{j} \left(\sum_{k} a_{ik} b_{kj}\right) x_j$
括号里的 $\sum_{k} a_{ik} b_{kj}$ 正好是 $(AB)_{ij}$ ，与 $A(AB)$ 无关
矩阵乘法就是映射复合，这个规则不是人为规定的，是复合映射唯一可能的表示形式

由此得到矩阵乘法的结合律： $(AB)C = A(BC)$

# 验证矩阵乘法 = 映射复合
a = [[1, 2], [3, 4]]
b = [[5, 6], [7, 8]]
c = [[2, 0], [1, 1]]

mul = lambda do |x, y|
  n = x.size
  n.times.map do |i|
    n.times.map do |j|
      n.times.sum { |k| x[i][k] * y[k][j] }
    end
  end
end

ab = mul.call(a, b)
puts "AB = #{ab}"                       # AB = [[19, 22], [43, 50]]
puts "(AB)C = #{mul.call(ab, c)}"       # (AB)C = [[60, 22], [136, 50]]
puts "A(BC) = #{mul.call(a, mul.call(b, c))}"  # A(BC) = [[60, 22], [136, 50]]

单位矩阵

恒等映射（什么都不变）对应的矩阵叫单位矩阵，记作 $I$
对角线是 1，其余是 0
$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
对任何矩阵 $A$ ，都有 $AI = IA = A$
因为矩阵乘法是映射复合，单位矩阵就是「什么都不做」这个映射
后续的逆矩阵就是把复合映射「倒回去」

坐标变换

有两组基底时，需要「根据一组基底对应的坐标求另一组基底对应的坐标」
这正是矩阵的用法：把坐标变换本身写成一个矩阵
这个矩阵的列，是新基底的各向量在旧基底下的坐标
1.2.11 节会详细讨论

小结这一节的两个关键词

矩阵 = 线性映射：这是本书要打破「矩阵就是一堆数字排列」印象的关键
矩阵乘法 = 映射复合：这条规则反过来唯一地规定了矩阵乘法该怎么算

有了这两条，后面讲逆矩阵（把复合倒回去）、特征值（复合在某些方向上的效果）就都是自然的推论了。

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